Hallo zusammen,
Ich würde gerne wissen, ob es ein Forschungspapier oder eine kombiniert Formel zur Berechnung des Fahrdraht- und Wind effekts in 3D-Umgebungen gibt, damit ich nicht für beide separate Berechnungen durchführen muss.
Jede Idee oder Unterstützung ist willkommen.
Three-dimensional-catenary-The-suspens.jpg (58.68 KiB) 1215 mal betrachtet
Ich habe mir Gedanken zu deinem Problem gemacht. Bezüglich Literatur fehlt mir der spezifische Überblick in dem Thema, dazu kann ich daher nicht viel beitragen. Ich werde unten aber nochmal darauf eingehen.
Für die einfache Berechnung der Seillinie kann die Kettenlinie genommen werden. Diese löst das Randwertproblem:
w_{,xx}(x) = c_w^(-1) * (1 + w_{,x}^2(x))^(1/2) für x_0 < x < x_1,
w(x_0) = z_0,
w(x_1) = z_1.
Dabei steht w_{,x} für die erste Ableitung der gesuchten Funktion w(x), w_{,xx} entsprechend für die zweite Ableitung. Der Faktor c_w ist dabei das Verhältnis aus konstanter Horizontalkraft zu konstanter linienverteilter Last bezogen auf die Seillänge. Häufig auch als c_0 bekannt.
Der Ansatz
w(x) = c_w * cosh((x-c_1) / c_w) + c_2
löst die Differentialgleichung, wobei c_1 und c_2 so gewählt werden müssen, dass die Randbedingungen erfüllt sind. c_1 und c_2 können hier sogar explizit durch alle gegebenen Größen berechnet werden.
Wird nun eine weitere Funktion v(x) gesucht, die die Verschiebung aus der Ebene beschreibt, ändert dies auch die Differentialgleichung für w(x). Für die Differentialgleichung in v(x) habe ich die Annahme getroffen, dass der Wind nur eine Kraft aus/in die Ebene auf das Seil ausübt und dies zu einer konstanten linienerteilten Last bezogen auf die Seillänge führt. Führt man die Variationsrechnung/Infinitesimalrechnung nun wie im Ebenen durch, so erhält man folgendes Randwertproblem:
v_{,xx}(x) = c_v^(-1) * (1 + v_{,x}^2(x) + w_{,x}^2(x))^(1/2) für x_0 < x < x_1,
w_{,xx}(x) = c_w^(-1) * (1 + v_{,x}^2(x) + w_{,x}^2(x))^(1/2) für x_0 < x < x_1,
v(x_0) = y_0,
v(x_1) = y_1,
w(x_0) = z_0,
w(x_1) = z_1.
c_v ist hier das Verhältnis aus konstanter Horizontalkraft zu der Windkraft (etwa c_v = H / (1/2 * rho * v_w^2 * c_d * d), mit Luftdichte rho, Windgeschwindigkeit v_w, Widerstandskoeffizient c_d und Seildurchmesser d).
Der Ansatz
v(x) = A_v * cosh(B*x + C) + D_v*x +E_v,
w(x) = A_w * cosh(B*x + C) + D_w*x + E_w
löst die Differentialgleichungen, wenn
1 - B^2*(A_v^2 + A_w^2) + D_v^2 + D_w^2 = 0,
A_v*D_v + A_w*D_w = 0,
c_v*A_v*B^2 = |B|(A_v^2 + A_w^2)^(1/2),
c_w*A_w*B^2 = |B|(A_v^2 + A_w^2)^(1/2).
Zusätzlich mit den 4 Randbedingungen erhält man 8 Gleichungen für 8 Unbekannte. Eventuell ist es auch hier möglich, alle Unbekannten in geschlossener Form explizit zu berechnen, ich habe es auf die Schnelle allerdings nicht geschafft. Eine iterative Berechnung sollte allerdings möglich sein.
Vielleicht gibt es auch einen besseren Ansatz, das Randwertproblem zu lösen oder auch andere Annahmen, die auf einer anderes und vielleicht einfacher zu lösendes Randwertproblem führen.
Ja nachdem, für was die Berechnung benötigt wird, könnten auch komplett andere Ansätze verwendet werden. Eventuell reicht es schon aus, eine quadratische Funktion für v anzunehmen, ohne die zugrundeliegende Mechanik genau zu betrachten, z.B. für die Generierung von Bildern, bei denen die Auslenkung das so gewählt wird, dass es optisch Ansprechend aussieht, oder für ein Computerspiel/Animation die Auslenkung auch händisch vorzugeben.
Alternativ geht auch eine komplett andere Herangehensweise mittels FEM (Ich könnte mir vorstellen, dass das in der Industrie auch State of the Art ist) oder diskreter Approxmation (In der Regel in Anwendung für Comupter Graphics).
Ich habe eine ganze Weile online gesucht und meine Erkenntnisse zusammengefasst, wenn ich sie gerne hier teilen möchte.
Bei der Entwicklung des allgemeinen Kabelelements werden zwei Größensätze verwendet.
Die äquivalenten Knotenkräfte und die Tangentensteifigkeitsbeziehungen müssen ausgewertet werden. Berücksichtigung von Gleichgewichts- und Kompatibilitätsbedingungen sowie der konstitutiven Beziehung für ein einzelnes Hängekabel unter äußerer Belastung muss für drei gleichzeitige nichtlineare Gleichungen entwickelt werden.
Der Unbekannte in diesen Gleichungen werden dann mithilfe der Newton-Raphson-Technik bestimmt erhalten Sie die äquivalenten Knotenkräfte.
Erste Schätzungen werden mithilfe einfacher, aber genauer Formeln ermittelt, die zu diesem Zweck entwickelt werden müssen.
Basierend auf diesen Gleichungen muss eine Methode entwickelt werden, um die tangentiale Steifigkeitsbeziehung für das zu beschreibende allgemeine Kabelelement zu bestimmen
Diese Methode erweist sich als besonders rechnerisch effizient.
Auch für Nicht-Muttersprachler: Es tut mir leid, wenn die Wörter/Sätze während der Übersetzung durcheinander geraten.
Wenn ich dich richtig verstehe, hast du bereits eine diskretisierte Berechnung implementiert, oder? Und für den "initial guess" im Lösungsverfahren verwendest du die Kettenlinie. Ich denke, es sollte bei der Methode dann ausreichend sein, die Windkraft respektive Windgeschwindigkeit auch in kleinen Schritten zu erhöhen und so schrittweise zur numerischen Lösung zu kommen.
Was ich im letzten Beitrag noch vergessen hatte zu erwähnen:
Die Kettenlinie gilt, genauso wie die von mir geteilten Differentialgleichungen, nur im freien Seilfeld, also sobald eine Kabine dranhängt, muss das Seilfeld aufgeteilt werden (an Stützen sowieso). Da die Kabinen eine deutlich höhere Masse haben (zumindest bei ausreichend dichter Beschickung) geben diese dann vor allem den Durchhang vor. Selbiges gilt meiner Einschätzung nach für die seitliche Auslenkung, da die Oberfläche der Kabinen auch deutlich größer ist als die des Seiles.
Hermelinchen hat geschrieben: 16.09.2024 - 20:17
Hi!
Wenn ich dich richtig verstehe, hast du bereits eine diskretisierte Berechnung implementiert, oder? Und für den "initial guess" im Lösungsverfahren verwendest du die Kettenlinie. Ich denke, es sollte bei der Methode dann ausreichend sein, die Windkraft respektive Windgeschwindigkeit auch in kleinen Schritten zu erhöhen und so schrittweise zur numerischen Lösung zu kommen.
Was ich im letzten Beitrag noch vergessen hatte zu erwähnen:
Die Kettenlinie gilt, genauso wie die von mir geteilten Differentialgleichungen, nur im freien Seilfeld, also sobald eine Kabine dranhängt, muss das Seilfeld aufgeteilt werden (an Stützen sowieso). Da die Kabinen eine deutlich höhere Masse haben (zumindest bei ausreichend dichter Beschickung) geben diese dann vor allem den Durchhang vor. Selbiges gilt meiner Einschätzung nach für die seitliche Auslenkung, da die Oberfläche der Kabinen auch deutlich größer ist als die des Seiles.
