Mathematikfrage Wahrscheinlichkeitsrechnung

[Werna76]

Hab das mal vor 15 Jahren gelernt, finde meine Unterlagen aber nicht mehr.

Urnenmodell mit zurücklegen, 6 Kugeln, 6 Ziehungen
1) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Kugel Nr.1 3x gezogen wird? (5,36% ?)
2) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Kugel Nr. 2 überhaupt nicht gezogen wird? (33,49% ?)

[ThomasK]

Hab das mal vor 15 Jahren gelernt, finde meine Unterlagen aber nicht mehr.

Urnenmodell mit zurücklegen, 6 Kugeln, 6 Ziehungen
1) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Kugel Nr.1 3x gezogen wird? (5,36% ?)
2) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Kugel Nr. 2 überhaupt nicht gezogen wird? (33,49% ?)

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel bei 6 Ziehungen genau k mal gezogen wird ist

(5/6)^(6-k) * (1/6)^k * (6! / (k! * (6-k)!)

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel also dreimal und nur dreimal gezogen wird ist also (5/6)^3 * (1/6)^3 * 6!/(3!)^2 = 125/216 * 1/216 * 720/36 = 90000 / 1679616
Die Wahrscheinlichkeit, dass Kugel 2 genau 0 mal gezogen wird, ist also (5/6)^6 = 15625 / 46656

Heraus kommt die Binomialverteilung; für n gegen unendlich nähert sich die Verteilung der Normalverteilung an.

Würde man die Kugel NICHT zurücklegen, ergibt sich eine hypergeometrische Verteilung.

Wenn man z.B. wissen will, wieviel Fische in einem See sind, dann fängt man z.B. 100 Fische und malt sie an. Dann schmeisst man die Fische wieder in das Wasser.

Ein paar Tage später kommt man zurück und fängt z.B. 200 Fische. Von diesen Fischen sind 8 Fische angemalt. Die Anzahl der Fische im See wird - da man beim zweiten Fang die Fische alle gleichzeitig fängt und somit nicht zurücklegt - durch eine hypergeometrische Verteilung dargestellt; als Erwartungswert ergeben sich somit für den See 100 / (8/200) = 2500 Fische.

[Werna76]

Danke!

[Martin_D]

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel also dreimal und nur dreimal gezogen wird ist also (5/6)^3 * (1/6)^3 * 6!/(3!)^2 = 125/216 * 1/216 * 720/36 = 90000 / 1679616

vielleicht als Ergänzung:

(5/6)^3 ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel 1 bei den ersten drei Ziehungen nicht gezogen wird

(1/6)^3 ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel 1 bei den letzten drei Ziehungen gezogen wird.

(5/6)^3 * (1/6)^3 ist somit die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel 1 bei den Ziehungen Nummer 4,5 und 6 gezogen.


Statt bei den Ziehungen Nummer 4,5 und 6 kann die Kugel 1 aber auch bei den Ziehungen
3,5,6
2,5,6
1,5,6
.
.
.
1,2,3

gezogen werden.

Also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit (5/6)^3 * (1/6)^3 * N, wobei N die Anzahl der Möglichkeiten ist, aus den Zahlen 1 bis 6 genau 3 Zahlen auszuwählen.

Wie kommt man auf diese Anzahl N ?

__ __ __ Auf jeden Platzhalter soll eine Zahl von 1 bis 6, aber keine zweimal.

Für den ersten Platzhalter gibt es 6 Möglichkeiten, für den zweiten dann noch 5 (alle Zahlen außer die vom ersten Platzhalter), für den dritten noch 4.

Somit kommt man auf 6*5*4 Möglichkeiten, drei Zahlen von 1 bis 6 auf __ __ __ zu verteilen.

Dabei wird aber 1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 2 1 un 3 1 2 als 6 verschiedene Möglichkeiten gezählt.

Bei der Anzahl N zählen diese 6 Möglichkeiten als eine einzige. Somit muss man 6 * 5 * 4 noch durch 6 teilen. Also ist N = (6 * 5* 4) / 6 = 5 * 4

Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit (5/6)^3 * (1/6)^3 * 5 *4 = 5,36 %

[Werna76]

So jetzt nochmal ne Frage zu diesem Thema, konkreter Fall Verlosung von Startplätzen für einen Marathon.

20.000 Gesamtanmeldungen
4.000 Startplätze werden vergeben
Der Typ der für die Anmeldung zuständig ist, übersieht die Teamanmeldung und meldet 8 Personen einzeln an...
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der 8 einen Startplatz erhält?
Wie hoch für 1,2,3...

[Martin_D]

0 16,8%
1 33,6%
2 29,4%
3 14,7%
4 4,6%
5 0,9%
6 0,1%
7 0,0%
8 0,0%


Das ganze ist eine Näherung. Die Rechnung wurde nach dem Modell "Ziehen ohne Zurücklegen" durchgeführt, also gleiche Modell wie oben diskutiert.
Exakt müsste man nach dem Modell "Ziehen mit Zurücklegen rechnen". In der in der Fragestellungen gegeben Konstellation ist die durch die Näherung verursachte Abweichung aber vernachlässigbar.

[Werna76]

Dankeschön!

[Nuyaki]

Hi

Wenn hier alle schon so mathematisch drauf sind, werf ich noch was mit ein kurz, hoffe das ist okay.

Hab hier auf http://www.betriebswirtschaft-lernen.net/ etwas über die Restwertmethode für kalkulatorische Zinsen gelesen, da ich gerade im Rahmen einer Arbeit die ich schreiben muss, recherchiere. Ich würde nun gern ein einfaches Beispiel mit realen Größen/realen "Firmen" von euch hören, sofern möglich. Die Erklärung auf besagter Seite ist gut, jedoch steh ich wohl noch zu sehr auf dem Schlauch um das ganze richtig zu verarbeiten. Da die Zeit drängt, wollte ich euch fragen, ob jemand dazu in der Lage ist die Definition von "Restwertmethode für kalkulatorische Zinsen" in ganz einfachen Beispielen zu sagen? Vielen Dank, und macht euch nicht zu viel Mühe, wenns keiner einfacher erklären kann ist schon okay. Dann muss ich einfach dafür sorgen dass ich selber was anfange mit der Erklärung die ich bereits habe.

Grüße