Die Vermessung der Pisten

[Talabfahrer]

Ich mache es wie Stäntn, glaube dir die Werte ohne nachzurechnen

Ganz kurz: Erst mal Danke an alle fuer das Lob! Heute Abend schreib ich ein bisschen was zum "Making of ..".

Zum Nachrechnen: Es waer ja schon gut, wenn mal jemand mit ein bisschen mathematischer Sachkenntnis die beiden verlinkten Excel-Blaetter, in denen die - vergleichsweise einfachen- Formeln drinstehen, nachpruefte. Martin_D? Rechnen ist fuer mich ja schon Routine, und dabei darf bei mir "im richtigen Leben" nichts danebengehen. Vorteil beim Thema hier ist, dass man auch ganz gut schaetzen kann, wenn man nicht gerade die rosa Marketingbrille aufhat. Da gilt die alte Ingenieursregel: Man kann sich nie so verschaetzen, wie man sich verrechnen kann.

 

[Whistlercarver]

Geniale Berechnungen!
Hätte nie gedacht das man nur einen so geringen Winkel braucht.

 

[Freerider97]

Genial! Respekt und Hut ab für die Arbeit!

Am Stubaier fährt der Durchschnittliche Skifahrer(siehe Effektive Fahrstrecke) also auch über die ganze Pistenbreite und leicht bergwärts...

 

[Estiby]

Ich mache es wie Stäntn, glaube dir die Werte ohne nachzurechnen

Ganz kurz: Erst mal Danke an alle fuer das Lob! Heute Abend schreib ich ein bisschen was zum "Making of ..".

Zum Nachrechnen: Es waer ja schon gut, wenn mal jemand mit ein bisschen mathematischer Sachkenntnis die beiden verlinkten Excel-Blaetter, in denen die - vergleichsweise einfachen- Formeln drinstehen, nachpruefte. Martin_D? Rechnen ist fuer mich ja schon Routine, und dabei darf bei mir "im richtigen Leben" nichts danebengehen. Vorteil beim Thema hier ist, dass man auch ganz gut schaetzen kann, wenn man nicht gerade die rosa Marketingbrille aufhat. Da gilt die alte Ingenieursregel: Man kann sich nie so verschaetzen, wie man sich verrechnen kann.

Eine sehr gute Übersicht

Ich habe mir die Formeln, die du für deine beiden Diagramme hergenommen hast, auch mal hergeleitet und bin auf die gleichen gekommen. Sie sollten also stimmen. Auch eine interessante Überlegung eine Parabel zu verwenden für die Umrechnng der projezierten Falllinie auf die "gefahrene" Falllinie. Gut nachvollziehbar das ganze, wenn man es sich etwas anschaut.

 

[Dachstein]

Talabfahrer - du bist der Hammer! Ich bin ja nicht der begnadete Mathematikus, werde aber trotzdem versuchen, es nachzuvollziehen in einer ruhigen Minute. Danke jedenfalls für die Mühen.

Es bleibt mir noch eines zu sagen: vorm Starli hat sich der Stubaier damals wohl ziemlich gefürchtet, was die reinen GPS Daten anging. Ich möchte nicht wissen, wie sich die erst gefürchtet hätten, wenn du mit sowas gekommen wärst. Ich freue mich jedenfalls schon auf dein making of, und verziehe mich jetzt wieder zu meinem nλ = 2d sinθ ...

Die Frage von Dachstein, ob sich ein Verhältnis gefahrene/gemessene Pistenkilometer von 212/160 ~= 1.325 erreichen ließe "wenn man sinusförmig die Piste runtercarvt", lässt sich so beantworten, dass das nicht ausreicht, zumindest dann nicht, wenn man als Fahrweg den "Lehrbuch-Sinus" mit dem Verhältnis Periodenlänge / Amplitude = 2*Pi ~= 6.28 wählt.

Ich hatte dies übrigens auch nicht wirklich ernstgemeint (sprich ich dachte jedenfalls nicht an einen exakten Sinus - den zu fahren, uns zwar andauernd ist wohl unmöglich), dachte eher an schöne "Bogerl". Das, was du also jetzt errechnet bzw. bewiesen hat.

MFG Dachstein

 

[mic]

Talabfahrer - du bist der Hammer!

Bitte ab jetzt "Dr. Talabfahrer".
Soviel Zeit muss ab jetzt sein!

 

[Dachstein]

Falscher Titel. Diplomingenieur stimmt. Und wenn du wüsstest, mit was sich unser Talabfahrer sonst so beschäftigt, würdest du sehen, dass das eine nette Aufgabe für vermutlich zwischendurch war. Einfach mal seine Homepage anklicken und staunen, was er so alles rechnet.

MFG Dachstein

 

[Estiby]

Die Diagramme und Excel-Dateien von Talabfahrer haben es mir angetan, daher habe zur individuellen Betrechnung von Pistenlängen noch eine neue Excel-Datei angefertigt. Diese ist hier zu finden.
Folgendes Bild zeigt den Aufbau der Exceldatei. In den hellblau hintergelten Zellen (im Bild schlecht erkennbar) kann man individuelle Werte eingeben und in den grün hinterlegten Zellen werden die Ergebnisse ausgegeben.

Außerdem habe ich noch ein Diagramm angefertigt, dass die Pistenlängenentwicklung bei unterschiedlichen Schrägfahrwinkeln zeigt. (Das Diagramm ist auch in der oben verlinkten Exceldatei enthalten.)

Mit dem Diagramm kann man z.B. abschätzen, welcher Schrägfahrwinkel in Ischgl gefahren werden müsste, um die angegebene Fahrstrecke zu erreichen:

Blauen Abfahrt 8:
Falllinie: 1.739 m
angegebene Fahrstecke: 3.281 m
berechnete Fahrstecke bei Gamma = 105°: 3.299,31 m

Schwarze Abfahrt 14a:
Falllinie: 1.682 m
angegebene Fahrstecke: 2.799 m
berechnete Fahrstecke bei Gamma = 95°: 2.799,51 m

Rote Abfahrt 5:
Falllinie: 2.591 m
angegebene Fahrstecke: 3.894 m
berechnete Fahrstecke bei Gamma = 86°: 3.898,54 m

Rote Abfahrt 31:
Falllinie: 639 m
angegebene Fahrstecke: 1.103 m
berechnete Fahrstecke bei Gamma = 98°: 1.103,70 m

Man könnte die Exceltabelle natürlich auch noch so anpassen, dass man die Falllinie und Fahrstrecke angibt und daraus die zu fahrende Schrägfahrwinkel berechnet wird.

 

[noisi]

@ Estiby: Sehr interessante Ausführungen, danke auch dafür.

Ich habe ebenfalls mal, wenn auch wesentlich simpler, gerechnet - und zwar mit den Daten von Ischgl.
Dort gibt man an:0
c = Schräge Länge der Pisten = 172km
a = Horizontale Länge der Pisten = 163km
b = Höhendifferenz

b = WURZEL(c²-a²)
b = 54,91km

Jetzt die durchschnittliche Hangneigung in %

hn = a/b
hn = 33,7%

Damit wären die durschnittliche Piste in Ischgl also schonmal rot (25-40%)- aber durschnittlich wohlgemerkt! Kommt mir irgendwie spanisch vor. Normalerweise kommen selbst rabenschwarze Abfahrten nicht auf eine solche durschnittliche Neigung.
Also das ganze nochmal einzeln für die schwarzen, roten und blauen Pisten nachgerechnet.

hn_schwarz = 31,2%
hn_rot = 35,5%
hn_blau = 41,67% (!!!!!!!)

Wie man deutlich sehen kann, können die Angaben hinten und vorne nicht hinkommen - selbst wenn irgendwo schwere-, leichte- oder mittelschwere Pisten verwechselt worden sind.
Wenn man die vermeintliche "wahre" Pistenkilometerzahl schon mit dem simplen Pythagoras widerlegen kann - was soll das ganze? Hat sich da einfach jemand hingesetzt und sich ein paar Zahlen zusammengereimt? Anders kann ich mir das kaum erklären.
Die vermeintliche Aufklärung ist also auch nichts weiter als eine neue Masche den Kunden hinters licht zu führen. Hat man denn wirklich so viel zu verlieren?

 

[Estiby]

@noisi: Also bei deinen blauen Pisten har sich aber der Fehlerteufel eingeschlichen:

durchschnittliche Neigung blau: Wurzel(33²-32²)/32 = 25,19 %

Rot und schwarz dürften aber stimmen.

Bei der Formel führ die durschnittliche Hangneigung müsste es hn = b/a sein. So hast du die Zahlenwerte ja auch berechnet.

 

[noisi]

@noisi: Also bei deinen blauen Pisten har sich aber der Fehlerteufel eingeschlichen:

durchschnittliche Neigung blau: Wurzel(33²-32²)/32 = 25,19 %

Rot und schwarz dürften aber stimmen.

Bei der Formel führ die durschnittliche Hangneigung müsste es hn = b/a sein. So hast du die Zahlenwerte ja auch berechnet.

Ich steh grad auf dem Schlauch - Konzentration ist nicht mehr die Beste.

 

[noisi]

Ah ok - ich habs , ich hab die Zahlen verdreht, das Ergebnis bei den blauen Pisten ist in Wirklichkeit die Neigung der Skirouten - trotzdem ganz schön steil oder?

Ein weiteres Beispiel - die auf der Homepage angebene blaue Piste Nr.8

a = horizontale Länge = 1709m
c = schräge Länge = 1739m
daraus ergibt sich
b = höhendifferenz = 321,6m
hn = 18,82% - das passt eigentlich ganz gut - müsste eine schöne Abfahrt zum Carven seinn

jetzt mit c = länge der sportlichen Abfahrt = 3281m
daraus ergibt sich a = 3265 und somit hn = 9,85% - sportlich ist das nicht.

Wie schon Talabfahrer geschrieben hat sind 10% sehr nahe an der Stehenbleibgrenze.

 

[Estiby]

Ich steh grad auf dem Schlauch - Konzentration ist nicht mehr die Beste.

Du hast folgendes berechnet:

hn_schwarz = 31,2%
hn_rot = 35,5%
[b]hn_blau = 41,67% (!!!!!!!)[/b]

Wenn ich die durchnittliche Neigung der blauen Abfahrten berechne komm ich auch ein anderes Ergebnis:
c = Schräge Länge der blauen Pisten = 33 km
a = Horizontale Länge der blauen Pisten = 32 km
b = Höhendifferenz

Daraus folgt:
Höhendifferenz
b = Wurzel(c²-a²) = Wurzel(33²-32²) = 8,062....

durchschnittliche Hangneigung in %
hn = b/a = 8,062... / 32 = 25,19%

Die Hangneiging von 41,67% die du für die blauen Pisten berechnet hast stimmen damit also nicht.

Jetzt die durchschnittliche Hangneigung in %

hn = a/b
hn = 33,7%

Hier wollte ich nur deine angegebene Formel korrigieren (du hast ja mit der richtigen gerechnet).
hn ist nicht a/b sondern hn = b/a (Höhendifferenz/horizontale Länge)

Ich hoffe es ist jetzt klarer geworden

Edit: ok jetzt warst du schneller als ich

 

[Whistlercarver]

Als kleiner Vergleich hab ich das hier:

Die Einstufung richtet sich nach folgenden Werten:
Leichte Piste = blaue Farbe
Blaue Pisten dürfen 25% Längs- und Quergefälle nicht übersteigen, mit Ausnah-
me kurzer Teilstücke im offenen Gelände.
Mittelschwierige Pisten = rote Farbe
Rote Pisten dürfen 40% Längs- und Quergefälle nicht übersteigen, mit Ausnahme
kurzer Teilstücke im offenen Gelände
Schwierige Pisten = schwarze Farbe
Pisten, welche die Maximalwerte für rote Pisten übersteigen, sind schwarz zu
bezeichnen.

Nach dieser Definition wären alle Pisten im Durchschnitt im Rahmen bis auf die schwarzen.

 

[Estiby]

Bei der "Überprüfung" wie noisi sie gemacht hat muss man in diesem Fall allerdings vorsichtig sein, da die Längenangaben recht ungenau abgegeben sind. Dies will ich an ein paar Beispielen demonstrieren:

Wenn ein Wert ohne Kommastellen angegeben wird, dann kann ich davon ausgehen, dass dieser gerundet ist. Ist jetzt z.B. 32 km angegeben, dann kann der Wert mit einer Kommastelle mehr schon in einem Bereich von 31,5 km bis 32,4 km liegen. Darauf basierend habe ich den möglichen Bereich der Hangneigungen berechnet, die mit einer Angabe ohne Kommastellen möglich sind (mit einer Stelle nach dem Komma).

Legende:
horizontale Länge (hL) | schräge Länge (sL) | Hangneigung (Hn)

Blaue Pisten:
angegeben:
hL: 32 km
sL: 33 km
Hn: 25,19%

Minimalfall:
hL: 32,4 km
sL: 32,5 km
Hn: 7,86%

Maximalfall:
hL: 31,5 km
sL: 33,4 km
Hn: 35,25 %

Betrachtet man also schon eine Kommastelle mehr, dann kann die Hangneigung der blauen Pisten in einem Bereich von 7,86% bis 35,25% liegen. Je mehr Kommastellen man betrachtet, umso größer wird dieser Bereich, wobei die Vergrößerung selber bei jeder weiteren Kommastelle natürlich kleiner wird.

Für die anderen Pistenfarben sieht es wie folgt aus (mit einer Kommastelle):
Rote Pisten:
Minimalfall: 32,61%
Maximalfall: 38,28%

Schwarze Pisten:
Minimalfall: 9,68%
Maximalfall: 44,04%

Skirouten:
Minimalfall: 12,73%
Maximalfall: 59,81%

Resultat dieser Betrachtung:
Die Hangneigung kann mit so ungenauen Angaben nicht nachgeprüft werden.

 

[noisi]

Resultat dieser Betrachtung:
Die Hangneigung kann mit so ungenauen Angaben nicht nachgeprüft werden.

Gut, das habe ich tatsächlich nicht bedacht - auch wenn ich das natürlich erstmal überprüft habe

 

[scratch]

Falscher Titel. Diplomingenieur stimmt. Und wenn du wüsstest, mit was sich unser Talabfahrer sonst so beschäftigt, würdest du sehen, dass das eine nette Aufgabe für vermutlich zwischendurch war. Einfach mal seine Homepage anklicken und staunen, was er so alles rechnet.

MFG Dachstein

Welche Homepage wäre das dann? Im Profil steht ja nix, oder?
Und nicht jeder Dipl.-Ing. kann auch automatisch gut rechnen
Aber ist schon lässig, für was man alles eine Tabellenkalkulation hernehmen kann

 

[Ram-Brand]

Wenn schon Dr. pi. ste. Tababfahrer

 

[Talabfahrer]

Falscher Titel. Diplomingenieur stimmt. Und wenn du wüsstest, mit was sich unser Talabfahrer sonst so beschäftigt, würdest du sehen, dass das eine nette Aufgabe für vermutlich zwischendurch war. Einfach mal seine Homepage anklicken und staunen, was er so alles rechnet.

Welche Homepage wäre das dann? Im Profil steht ja nix, oder?

Wenn mich Dachstein hier schon auf die Bühne zerrt: Wer's unbedingt wissen will, kann ja ein bisschen mit den Links auf die Diagramme spielen ... Und dann hilft eine bekannte Suchmaschine weiter. Man kann ja auch ohne Facebook & Co. im Web präsent sein.

 

[Talabfahrer]

Also nochmal Danke für die vielen freundlichen Kommentare.

... das hat bestimmt ne Stunde Arbeit gekostet ...

Das wäre schön, aber so schnell bin ich dann doch nicht. Das Thema lag schon seit einiger Zeit quasi in der Schublade, aber in den letzten Wochen bin ich doch lieber zum Skifahren gegangen, ging ja schon ganz gut. Praxis vor Theorie ... Erst am vergangenen Wochenende hab ich's dann vorgezogen, den sommerlichen Samstag zum Waldarbeiten zu nützen und am Sonntag hab ich dann wegen Wärme und Windprognosen den ins Auge gefassten Pitztalbesuch sein lassen und mich am Nachmittag und Abend ein paar Stunden an den Rechner gesetzt.

Aber wir können uns gerne mal Going treffen diesen Winter und versuchen die Angaben der Skiwelt zu fahren - glaub das wird ein lustiges Video

Natürlich sehr gern; bei den hoffentlich wieder > 80 Skitagen sollte sich das wirklich mal ausgehen; und weil ich mir beim Skifahren keinen Stress mach, bin ich auch für fast jeden Unfug zu haben. Einige Forumsnutzer wissen das ja.

... Betreiber das auch schon gemerkt haben, sich nun aber in ihrem Lügenkonstrukt winden...

Klar, wenn man die Pistenkilometer bisher als wichtigstes Werbeargument verwendet hat, dann kommt man aus dieser Verstrickung nur noch mit erheblichem Gesichtsverlust raus. Also Augen zu und weitermachen ..

1km Skispass *lol*

Die "km Skispass" könnte man ja auch in der Autobranche in abgewandelter Form zum Einsatz bringen, etwa als "km Fahrfreude". Damit könnte dann ein Hersteller die Abschreibungs-, Unterhalts- und Betriebskosten seiner Modelle im Premiumsegment dadurch schönrechnen, dass ein schnöder Straßenkilometer bei Benutzung seiner Produkte mindestens "3 km Fahrfreude" entspricht.

Halten wir fest: Marketing und Mathematik werden offenbar an verschiedenen Fakultäten gelehrt und der Talabfahrer weiß, wie gnuplot funktioniert (oder hat er gar Matlab benutzt?).

Also für diese Rechnerei braucht man kein Mathestudium; sollte mit soliden Schulkenntnissen zu bewältigen sein. Zumindestens meine ich mich zu erinnern, dass ich das schon am Ende meine Gymnasialzeit am Kufsteiner Gymnasium konnte. Die Bogenlänge vom Sinus findet man heute per Suchmaschine: Arc length of sine curve
Und ja, gnuplot ist recht praktisch, kostet nichts und läuft auf Windoofs und Linux. Matlab wäre ein Overkill gewesen, hab ich auch nicht zuhause. Ich hab allerdings erst mal rumüberlegt, wie ich die Visualisierungen der Fahrwege mache. Zuerst hab ich in Erwägung gezogen, die Bilder mit den Kreisbogenstücken mit Adobe Illustrator zusammenzuklicken, aber dann hab ich ein kleines Programm geschrieben, das die Kurven als Koordinatendatei rausschreibt, die ich dann mit gnuplot gezeichnet habe.

Ich habe mir die Formeln, die du für deine beiden Diagramme hergenommen hast, auch mal hergeleitet und bin auf die gleichen gekommen. Sie sollten also stimmen. Auch eine interessante Überlegung eine Parabel zu verwenden für die Umrechnung der projizierten Falllinie auf die "gefahrene" Falllinie.

Klasse, Danke für's Nachrechnen! Und dass Du gleich noch ein praxistauglicheres Tabellenblatt gemacht hast, ist Spitze. Mit den Benutzeroberflächen hab ich es nicht so. Allerdings schreckt mich der bizarre Downloadprozess davor ab, mir Dein Excelblatt zu holen.

Bitte ab jetzt "Dr. Talabfahrer".
Soviel Zeit muss ab jetzt sein!

Danke für die Blumen. Die Dr. und Prof.-Titel, die ich in der Korrespondenz zu meinen mathematischen Hobbyaktivitäten verliehen bekommen habe, füllen schon eine ganze Mülltonne. Ich verzichte aber trotzdem gerne.

Die Hangneigung kann mit so ungenauen Angaben nicht nachgeprüft werden.

Und umgekehrt, bei kleinen bis mittleren Hangneigungen ist der Unterschied zwischen Kartenprojektion und schräger Länge so klein, dass andere Faktoren wie die Art der Fahrwegwahl den überwiegenden Einfluss darstellen. In der Praxis wird es ohnehin immer so sein, dass entweder mit gps oder in einem Kartenbild (bzw. Google Earth) quasi der "Grundriss" des Fahrwegs oder der Pistenfalllinie gemessen wird, und dann die Höhenkorrektur als Aufschlag dazu gerechnet wird.