Die Vermessung der Pisten

[Dachstein]

Wenn mich Dachstein hier schon auf die Bühne zerrt:

Also auf die mathematische Bühne hast du dich schon selber gezerrt mit der Aktion. Ich hab bei dir immer das Gefühl, dass bei dir die Mathematik fürchterlich leicht von der Hand geht und es einfach einen Heidenspaß machen muss, sowas auf die Beine zu stellen. Ich bin ja schließlich auch Naturwissenschaftler, für mich war aber die Schulmathematik immer mehr Last als Freude, darum ist das für mich einfach nur bewundernswert.

Natürlich sehr gern; bei den hoffentlich wieder > 80 Skitagen sollte sich das wirklich mal ausgehen; und weil ich mir beim Skifahren keinen Stress mach, bin ich auch für fast jeden Unfug zu haben. Einige Forumsnutzer wissen das ja.

Klingt nach dem ganz normalen Wahnsinn. Ich bitte um eine Nachricht, auch wenn ich heuer die TSC nicht mehr habe, aber für Aktionen wie "den ganz normalen Wahnsinn" bin ich wie immer gerne zu haben.

MFG Dachstein

 

[Werna76]

Kann mal bitte irgendjemand in einfachen Worten erklären, was an den Angaben wie Ischgl sie macht nicht stimmt.
Für diejenigen unter uns die mit Mathe auf Kriegsfuss stehen

 

[Estiby]

Ich habe mir die Formeln, die du für deine beiden Diagramme hergenommen hast, auch mal hergeleitet und bin auf die gleichen gekommen. Sie sollten also stimmen. Auch eine interessante Überlegung eine Parabel zu verwenden für die Umrechnung der projizierten Falllinie auf die "gefahrene" Falllinie.

Klasse, Danke für's Nachrechnen! Und dass Du gleich noch ein praxistauglicheres Tabellenblatt gemacht hast, ist Spitze. Mit den Benutzeroberflächen hab ich es nicht so. Allerdings schreckt mich der bizarre Downloadprozess davor ab, mir Dein Excelblatt zu holen.

Naja, so bizarr ist der Prozess jetzt auch nicht. Auf dem Server, auf dem meine Homepage liegt, sind leider keine Excel-Dateien erlaubt, daher musste ich mir was anderes suchen und habe dabei http://www.file-upload.net gefunden. Ich finde es auch ein bisschen doof, dass man die Datei nicht direkt zum Download verlinken kann, so muss man aber auch einfach nur auf die verlinkte Download-Seite gehen und dann auf "Download" klicken.
Das Nachrechnen selber hat mir Spaß gemacht, auch wenn das einige wohl nicht glauben können

Kann mal bitte irgendjemand in einfachen Worten erklären, was an den Angaben wie Ischgl sie macht nicht stimmt.
Für diejenigen unter uns die mit Mathe auf Kriegsfuss stehen

Naja was heißt "nicht stimmen". Das was herausgefunden wurde ist, das wenn man die "gefahrene Länge - sportliche Fahrt" wirklich fährt, das Gefälle dabei sehr gering ist, so dass man schon fast stehenbleiben müsste. Oder anderes, dass man die Piste runterfahren müsste, wie in Talabfahrers Kreis-Diagramm zu sehen, also bei jeder Kurve den Berg erst wieder ein Stück hochfahren. Dazu ist natürlich zu sagen, das dies alles nur theoretische, mathematische Versuche sind sich die angebenen Zahlen zu erklären und zu veranschaulichen.

 

[Talabfahrer]

Kann mal bitte irgendjemand in einfachen Worten erklären, was an den Angaben wie Ischgl sie macht nicht stimmt.
Für diejenigen unter uns die mit Mathe auf Kriegsfuss stehen

Da muss man zwischen den Beispielen für die einzelnen Pisten und der Gesamtübersicht unterscheiden. In der Summe über alle Pisten hätte Ischgl eine mittlere Pistenneigung von 18.62 Grad = 41.4%. Scheint mir ein bisschen hoch, aber nicht ausgeschlossen. Der mittlere Wegverlängerungsfaktor ist 238/172=1.3837, und dafür nötigen Schwuenge mit ca. 78 Grad Schrägstellung sind nicht mehr allzu weit vom praxisfernen Halbkreisschwung weg. Alternativ viel Schrägfahren ..., wer weiss, vielleicht haben die mal eine Statistik ihrer Durchschnittsbesucher gemacht? Die schweren Pisten haben nach der Tabelle mit 17.34 Grad eine geringere Neigung als der Gesamtdurchschnitt von 18.62 Grad, eigenartig, aber eventuell mangelt es an Genauigkeit, wie von Estiby dargelegt. Den hohen Verlängerungsfaktor von 34/22=1.5455 bekommt man nur mit extrem flacher Schraegfahrerei hin, aber das geht gerade noch. Auch bei den mittleren Pisten ist der Verlängerungsfaktor 150/104=1.4423 arg hoch.
Am glaubwürdigsten sind die Angaben für die leichten Pisten, da passen mittlere Neigung mit 14.44 Grad und Verlängerungsfaktor 39/33=1.1818.
Dass dann die mit 22.62 Grad mittlerer Neigung sehr steilen Skirouten den kleinsten Verlängerungsfaktor 15/13=1.1538 haben sollen, ist nur dann plausibel, wenn die Routen so eng sind, dass man nur noch in Falllinie abrutschen oder aber den klassischen "umgesprungenen" Steilgelände-Bremsschwung fahren kann. Der hat dann nichts mehr mit Kreisradien von Carvingski zu tun.

Bei den Beispielen fuer die einzelnen Pisten scheint mir in allen Fällen der Verlängerungsfaktor unglaubwürdig hoch, am extremsten bei der leichten Piste 8, die bei ca. 10.66 Grad Neigung angeblich mit einem fast 1.9 mal so langen Weg wie die Falllinie "sportlich" befahren wird. Geht schon, aber das "sportlich" bezieht sich dann auf die einzulegenden Zwischenanstiege. Passt auch gar nicht zur realistischen Angabe für die leichten Pisten in der Übersichtstabelle. Generell glaub ich keine Verlängerungsfaktoren über 1.5. Der für Piste 5 mittel ist genau an der Glaubwürdigkeitsgrenze, die 1.7261 für Piste 31 mittel und 1.6641 für Piste 14a schwer sind nach meiner Meinung Phantasiewerte. Vielleicht nehm ich mal bei einem Ischgl Besuch doch wieder das GPS mit und probier's mit Spitzkehren.

Bitte um Nachsicht, wenn ich mich bei der Taschenrechnertipperei mal vertan haben sollte.

 

[darkstar]

Hallo,

Für diejenigen unter uns die mit Mathe auf Kriegsfuss stehen

Die Idee die Kollege Talabfahrer aufgreift ist die folgende:
Sei C eine Kurve in Parameterdarstellung:

Nun unterteile man die Kurve in sehr kleine Stücke und ersetze die Kurve durch die Polygonzüge dieser Unterteilungen:

Die Bogenlänge der Kurve sei nun:

Geht man nun mit der Feinheit der Zerlegung gegen 0, so konvergiert die obige Riemann-Summe gegen das Kurvenintegral 1. Ordnung:

Für f(t)=sin(t) und 0 ≤ t < π erhält man nun:

Hierbei handelt es sich, wie von Talabfahrer bemerkt, um ein elliptisches Integral, welches elementar nicht lösbar ist. Die Lösung erfolgt nun also numerisch mittels Gauß-Quadratur (dazu erfolgt eine Zerlegung des Integranden in eine Gewichtsfunktion und ein Polynom mit speziell gewählten Auswertungsstellen):

E(t|m) ist hierbei das elliptische Integral 2. Ordnung.

Ansonst, werter Talabfahrer, sehr interessant und gut aufbereitet! Gerne mehr davon!

[..] für mich war aber die Schulmathematik immer mehr Last als Freude [...]

Naja das ist ja kein Wunder, die Schulmathematik ist auch geprägt von sinnlosem auswendiglernen von Beispielen, unfairer Benotung, unfähigen Lehrenden usw.
Wenn man bei einfachster Anwendung der Integralrechnung wie "∫ x cos(x) dx" bereits raten muss, zeigt das nur, wie nutzlos der ganze Verein ist!

 

[Stäntn]

Also ich glaube wir sind uns einig dass die Skigebiete ihre "effektiven Fahrtstrecken" einfach so hingeschätzt haben damit die Abweichung zu den alten Prospektangaben nicht zu groß wird

Ihr seid hier schon auf gutem Niveau was die Analyis angeht das könnte man irgendwann mal auf ner Messe präsentieren oder bei diesen typischen Zusammenkünften von Politik und Seilbahnbranche

Vielleicht nehm ich mal bei einem Ischgl Besuch doch wieder das GPS mit und probier's mit Spitzkehren.

Da kommen Videos raus diesen Winter versuchen wir mal die Skigebietsangaben zu reproduzieren... wäre auch ne gute Idee für den AFWC...

 

[chrissi5]

@Darkstar, du bist verrückt, wie kann sowas Spaß machen ???

 

[Whistlercarver]

Zur GPS-Idee: Eigentlich müsste doch jeder GPS-Tracker so gut wie jeden Schwung aufzeichnen. Die Genauigkeit von GPS soll ja im cm Bereich liegen. Also dürfte es für uns hier eigentlich kein Problem sein die tatsächlich gefahrenen Werte der Skigebiete zu kontrollieren und gegebenenfalls zu korrigieren.
Für die Skigebiete heißt das, sie könnten einfach ihre Skilehrer hernehmen mit einem GPS Gerät ausrüsten und alle Pisten Abfahren lassen, dann hätte man einen viel besseren Wert zum Vergleichen als diese ganzen Berechnungen und Schätzungen.

 

[Talabfahrer]

Ihr seid hier schon auf gutem Niveau was die Analysis angeht das könnte man irgendwann mal auf ner Messe präsentieren oder bei diesen typischen Zusammenkünften von Politik und Seilbahnbranche

Na ja, die Frage ist: Wer ist "man"? Auf die Idee, jemand aus einem "unqualifizierten" Webforum auf eine solche Veranstaltung einzuladen, wird wohl nie jemand kommen. Wer ausser uns Spinnern hier im Forum hat denn ein wirkliches Interesse an einer solchen Präsentation? Und wodurch waere denn eine Darstellung von einem "Hobbyisten" wie mir, egal mit welchem professionellen Hintergrund, gegenueber den Parteien in diesem Thema legitimiert? Selbst die Ischgler, die eigentlich genug Selbstbewusstsein haben sollten, verstecken sich hinter dem Dienstsiegel eines "Ingenieurkonsulenten für Vermessungswesen". Sowas hab ich natuerlich nicht. Auch wenn der nur die GPS-Messungen der Falllinienwege ueberprueft hat, vermutlich, indem er auf der offiziellen Landes- oder Katasterkarte nachgemessen hat. Fuer den Rest bleibt die Marketingabteileng zustaendig.
Der einzige Grund, sich ausserhalb des schnell wieder abflauenden "Sturms im Wasserglas", wie er durch den Bericht von Christoph Schrahe ausgeloest wurde, tiefergehend mit den Angaben zu beschaeftigen, waere doch nur, wenn z.B. ein Skigebiet mit realistischen Angaben einen Konkurrenten mit geschoenten Phantasieangaben nach dem UWG vor den Kadi zerrte. Soweit sind wir aber anscheinend noch nicht, und ich glaub auch nicht, dass das jemals passieren wird. Oder glaubt Ihr, dass dem Schultz in Kaltenbach/Hochfuegen in dieser Saison scharenweise die Gaeste Richtung "Skijuwel" wegrennen werden, weil die nach wie vor 145 > 100 km Piste angeben? Damit bleibt es letztlich ein Thema fuers "Feuilleton" mit beschraenktem Unterhaltungswert fuers breite Skipublikum.

 

[Talabfahrer]

Zur GPS-Idee: Eigentlich müsste doch jeder GPS-Tracker so gut wie jeden Schwung aufzeichnen. Die Genauigkeit von GPS soll ja im cm Bereich liegen. Also dürfte es für uns hier eigentlich kein Problem sein die tatsächlich gefahrenen Werte der Skigebiete zu kontrollieren und gegebenenfalls zu korrigieren.
Für die Skigebiete heißt das, sie könnten einfach ihre Skilehrer hernehmen mit einem GPS Gerät ausrüsten und alle Pisten Abfahren lassen, dann hätte man einen viel besseren Wert zum Vergleichen als diese ganzen Berechnungen und Schätzungen.

Die "GPS-Genauigkeit im cm-Bereich" bezieht sich nur auf die unter Idealbedingungen vorgenommene Einzelmessung an einem stationaeren Punkt. Wegstreckenbestimmung ist ein ganz anderes Thema, da kommt es auf eine geeignete Nachverarbeitung bei der Weg-Rekonstruktion an. Trotzdem geht das mit angepasster Einstellung des Geraets und ein bisschen Mathematik bezueglich parametrischer Kurvendarstellung mit einer Genauigkeit, die den ganzen Glaskugel-Voodoo der derzeitigen Angaben vom Tisch fegen koennte.

Die Skilehrer wuerde ich als Partei in diesem Interessengeflecht nicht als objektive Tester akzeptieren. Die sind ja auch daran interessiert, dass ihr Heimatgebiet "gross" herauskommt und wuerden dann dafuer "geeignete" Fahrwege waehlen. Ich werd aber selbst mal in der aktuellen Saison ein paar Versuche starten. Kandidat waere ja z.B. die in den Vorgaengerbeitraegen zitierte Piste 8, die in Ischgl von der Bergstation der Velillbahn runter zur Idalp fuehrt. Ich werd dort mal versuchen, die moegliche Streubreite von Fahrweglaengen bei verschiedenen Fahrweisen zu ermitteln. Zehnmal dort runterfahren ist allerdings schon fast Grund fuer einen Schmerzensgeldanspruch. Zwischendurch kann man ja auch zur Abwechslung die 5er (die westliche Rote unter der Pardatschgratbahn) mit Messung fahren. Ich werd davon hier berichten.

 

[Whistlercarver]

Die Skilehrer wuerde ich als Partei in diesem Interessengeflecht nicht als objektive Tester akzeptieren. Die sind ja auch daran interessiert, dass ihr Heimatgebiet "gross" herauskommt und wuerden dann dafuer "geeignete" Fahrwege waehlen. Ich werd aber selbst mal in der aktuellen Saison ein paar Versuche starten. Kandidat waere ja z.B. die in den Vorgaengerbeitraegen zitierte Piste 8, die in Ischgl von der Bergstation der Velillbahn runter zur Idalp fuehrt. Ich werd dort mal versuchen, die moegliche Streubreite von Fahrweglaengen bei verschiedenen Fahrweisen zu ermitteln. Zehnmal dort runterfahren ist allerdings schon fast Grund fuer einen Schmerzensgeldanspruch. Zwischendurch kann man ja auch zur Abwechslung die 5er (die westliche Rote unter der Pardatschgratbahn) mit Messung fahren. Ich werd davon hier berichten.

Unter deinem Gesichtspunkt fallen die Skilehrer natürlich raus. Habe sie ins Spiel gebracht da diese ja eigentlich alle Pisten in einem Skigebiet perfekt befahren können sollten und manche Saisonkräfte von außerhalb des Landes evtl. die Pisten normal befahren und nicht extra Meter herausschinden werden.

 

[Dachstein]

@Darkstar, du bist verrückt, wie kann sowas Spaß machen ???

Wer sagt, dass sowas grundsätzlich Spaß macht? Wenn man etwas naturwissenschaftliches studiert (was darkstar, und ich tun, bzw, talabfahrer tat), dann bekommt man halt eine Ladung Mathematik zwangweise mit - ob man will oder nicht. Es gibt dann genug die dran scheitern. Nachdem ich aber keine Funktionen brauche, hat es bei uns halt Statistik und vermehrt Vektorrechnung gegeben (wobei ich 90% eh schon wieder durch essentielleres Wissen ersetzt habe). Studiert man Maschinenbau, braucht man wieder etwas anderes, wie die Elektrotechniker oder die Physiker.

Wobei du natürlich recht hast, es gibt Leute, denen macht es Spaß.

Wegen Skilehrer mit GPS ausrüsten: nicht nur, dass ein grundsätzlicher Interessenkonflikt besteht, besteht auch noch ein statistisches Problem.

Man nehme 2 Skilehrer:

Adi und Edi, beide aus Saalbach.

Adi ist Anwärter und bekommt eine totale Anfängergruppe, die auf der Turmwiese herumgurkt.
Edi ist staatlicher Skilehrer und bekommt Leute, die Schifahren können und die ihre Technik verbessern wollen. Diese fahren Kohlmais und Schönleithen.

Während Adi sich anstrengen muss, um die Gruppe aus 10 Leuten halbwegs die Turmwiese unter zu bringen, er immer wieder aufsteigen muss um einzelnen Leuten zu helfen, über die Piste in Schischuhen rennt, um verlorengegangene Schi und Stöcke einzusammeln, usw., ist Edi recht schnell mit seiner Gruppe unterwegs. Er fährt vor, die anderen fahren nach. Er fährt vor in schnellem Schwung, und schaut sich an, was die Gruppe gelernt hat. Nur selten muss er jemandem helfen.

Jetzt wird man dann feststellen, dass zwar Edi sicher weiter gefahren ist als Adi, jedoch kommt beim Adi ein ziemlicher Topfen heraus. Denn jeder Schritt vom Adi wurde ja aufgezeichnet. Und wenn man sich nun rein die Daten anschaut, wird Adi wesentlich mehr Höhenunterschied und Strecke gemacht haben, als dass die Turmwiese eigentlich hergibt.
Edi hingegen hat eine verlässlichere Messung durchgeführt, hat aber, da er Schilehrer ist, auch seinen Schützlingen manchmal helfen müssen. Ergo sind beide Messungen Verfälscht. Die vom Adi total, die vom Edi etwas.

Die Problematik ist also, für ein derartiges Experiment entsprechende Testpersonen zu finden. Und daran wird es scheitern.

MFG Dachstein

PS: es soll sogar schon Leute gegeben haben (Studenten), die versucht haben, in einem Skigebiet ohne Loipen die Menge an Langläufern zu eruieren. Das ging auch leicht schief...

 

[Whistlercarver]

Ich meinte natürlich einen Skilehrer der ohne Gruppe unterwegs ist und am besten die höchste Ausbildungsstufe hat. Mit Gruppe gibt es natürlich kein repräsentatives Ergebnis, deshalb sollte er auch in seiner "Freizeit" die Pisten abfahren und zwar mit einem der Piste angepassten Stil. Auf Schwarzen eher Kurzschwung und auf blauen große Carving-Bögen.

 

[ATV]

Ich meinte natürlich einen Skilehrer der ohne Gruppe unterwegs ist und am besten die höchste Ausbildungsstufe hat.

Der befindet sich dann aber meist nicht auf der Piste sondern im Apreski oder im Bett mit....

Wetten hier würden sich genug freiwilligen finden??

 

[k2k]

Halten wir fest: Marketing und Mathematik werden offenbar an verschiedenen Fakultäten gelehrt und der Talabfahrer weiß, wie gnuplot funktioniert (oder hat er gar Matlab benutzt?).

Also für diese Rechnerei braucht man kein Mathestudium; sollte mit soliden Schulkenntnissen zu bewältigen sein. Zumindestens meine ich mich zu erinnern, dass ich das schon am Ende meine Gymnasialzeit am Kufsteiner Gymnasium konnte. Die Bogenlänge vom Sinus findet man heute per Suchmaschine: Arc length of sine curve

Ja, die Bemerkung war eher metaphorisch gemeint. Sicherlich hätte man auch plumper auf die Marketingfuzzis draufhauen können aber man muss ja nicht immer alles so direkt formulieren. Nachher tappt man noch einem hier auf die Füße...

 

[Whistlercarver]

Ich meinte natürlich einen Skilehrer der ohne Gruppe unterwegs ist und am besten die höchste Ausbildungsstufe hat.

Der befindet sich dann aber meist nicht auf der Piste sondern im Apreski oder im Bett mit....

Wetten hier würden sich genug freiwilligen finden??

Also ich würde mich bereit erklären so was zu machen, bräuchte nur noch einen Tracker, wäre morgen z.B. in Sölden auf dem Gletscher unterwegs

 

[ATV]

Also ich würde mich bereit erklären so was zu machen, bräuchte nur noch einen Tracker, wäre morgen z.B. in Sölden auf dem Gletscher unterwegs

Smartphone? Android hats diverse Trackung Apps die Gratis sind.

 

[Whistlercarver]

Also ich würde mich bereit erklären so was zu machen, bräuchte nur noch einen Tracker, wäre morgen z.B. in Sölden auf dem Gletscher unterwegs

Smartphone? Android hats diverse Trackung Apps die Gratis sind.

Ich bin einer von nur noch wenigen ohne Smartphone

 

[Emilius3557]

@Talabfahrer/Darkstar: Großartig, vielen Dank!

Das ganze wäre etwas für "Tourism management": möglicher Arbeitstitel: "Ski slope lenght as key factor of ski area competitiveness - fraudulent/misleading marketing efforts revisited" oder so ähnlich...

oder das "Journal of Outdoor recreation and tourism", das wird von zwei Österreichern herausgegeben...

 

[Dachstein]

Weil noch jemand meinte, dass man mittels GPS auf Zentimeter genau messen könnte.

Ja, man tut es. Unter folgender Voraussetzung:

- Statische Messung
- Differential GPS
- Korrektursatelliten sind geladen
- Keine Hindernisse, die das Signal abschirmen
- Mitteln von sehr vielen Messungen
- Und der Ami legt den Schalter nicht um.

Kurz gesagt: wenn man bei Schneller Fahrt auf ein paar Meter genau hinkommt, dann ist das mMn. ein ganz passables Ergebnis.

Ich hatte selber das Problem, dass ich selbst bei einer statischen Messung mit Differential GPS aufgrund einer sehr ungünstigen Lage nur eine Genauigkeit von 5 Metern erreicht habe. GPS war das Garmin GPS Map 60 CSX. Talabfahrer hat das Gleiche.

Wo gibt es unter Umständen Probleme auf der Piste?

Enge Waldschneise - Ziehweg durch den Wald (Schwarze Piste am Maierl in Kirchberg)
Tal, wo die Piste drinnen liegt (Zuger Tobel beispielsweise)

Aus den oben genannten Gründen ergibt sich nun auf der Piste folgendes Bild - der Talabfahrer, der Dachstein, der Starli und der Stanton rutschen, alle paar Meter für die Messungen stehenbleibend eine Piste auf einem vorher festgelegten Kurs, welcher der normalen Fahrstrecke eines Skifahrers entspricht hinunter.


MFG Dachstein